摘要:推出期望dp方程后高斯消元贪心求解

「HNOI2013」游走

题面

题目分析

可以发现如果我们求出了每条边经过的期望次数,那么只要贪心地为边分配边号即可,期望经过次数大的分配小的编号.

但是直接对边求期望不太好求,我们转化为对点求期望,方程如下:

简单理解,对于一个点的出点,出点经过的期望次数乘上下一步走到这个点的概率即为这个点通过这个出点到达的期望,根据期望的线性性求和即可,注意$n$号点不会有出边所以只有$n-1$个方程.

但是这个方程因为dp序混乱是无法递推的,我们只有想办法通过消元解出这个方程,把这个方程右边移项到左边,理解成矩阵即可高斯消元,然后就解出了$f_i$.

然后每条边$(u,v)$经过的期望次数即为$\frac{f_u}{deg_u}+\frac{f_v}{deg_v}$,同样理解,边经过的期望为连接的两个点经过的期望次数乘上走这条边的概率.

代码

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#include "cstdio"
#include "cstring"
#include "algorithm"
#include "cctype"
#define R register
#define debug(x) printf("debug:%d\n",x)
#define debugf(x) printf("debug:%lf\n",x)
#define endl putchar('\n')
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
const int big=510,large=125010;
int n,m,EdgeSize;
int head[big],u[large],v[large],degree[big];
double ans(0);
double a[big][big],x[big],f[large];
struct _Edge{int v,next;}e[large<<1];
#define add(u,v) EdgeAdd(u,v),EdgeAdd(v,u)
inline void EdgeAdd(int u,int v){e[EdgeSize]=(_Edge){v,head[u]},head[u]=EdgeSize++;}
inline int read()
{
char c(getchar());
int x(0);
for(;!isdigit(c);c=getchar());
for(;isdigit(c);x=(x*10)+(c^48),c=getchar());
return x;
}
inline void guass(int n)
{
// for(R int i(1);i<=n;endl,++i)
// for(R int j(1);j<=n+1;++j)
// printf("%lf ",a[i][j]);
for(R int i(1);i<=n;++i)
{
int max=i;
for(R int j(i+1);j<=n;++j)if(abs(a[j][i])>abs(a[max][i]))max=j;
for(R int j(1);j<=n+1;++j)std::swap(a[i][j],a[max][j]);
for(R int j(1);j<=n;++j)
{
if(j==i)continue;
double tmp=a[j][i]/a[i][i];
for(R int k(i+1);k<=n+1;++k)a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
}
}
for(R int i(1);i<=n;++i)x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
// debugf(x[i]);
}
int main(void)
{
// freopen("P3232_4.in","r",stdin);
// freopen("data2.out","w",stdout);
memset(head,-1,sizeof head);
n=read(),m=read();
for(R int i(1);i<=m;++i)
u[i]=read(),v[i]=read(),++degree[u[i]],++degree[v[i]],add(u[i],v[i]);
for(R int u(1);u<n;++u)
{
a[u][u]=1;
for(R int i(head[u]);~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(v!=n)a[u][v]=-1.0/(double)degree[v];
}
}
a[1][n]=1,guass(n-1);
for(R int i(1);i<=m;++i)
{
int a(u[i]),b(v[i]);
if(a!=n)f[i]+=x[a]/(double)degree[a];
if(b!=n)f[i]+=x[b]/(double)degree[b];
// debug(degree[a]),debug(degree[b]);
// debugf(f[i]);
}
std::sort(f+1,f+1+m);
for(R int i(1);i<=m;++i)ans+=(m-i+1)*f[i];
printf("%.3lf\n",ans);
return 0;
}